POJOKSATU.id - Final Olimpiade Sains Nasional (OSN) jenjang SMA/MA/SMK/MAK 2026 dijadwalkan berlangsung pada 14-20 September 2026.
Untuk membantu peserta mempersiapkan diri, berikut 20 latihan soal Matematika dengan tingkat kesulitan beragam, mulai dari kemampuan dasar hingga soal yang membutuhkan penalaran lebih mendalam.
Soal-soal dalam latihan ini dimodifikasi dari materi pada dokumen Bank Soal OSN SMA, khususnya kumpulan soal Matematika OSN tingkat kabupaten/kota, provinsi, dan semifinal.
Materi mencakup polinomial, persamaan kuadrat, faktorial, koefisien binomial, teori bilangan, barisan, geometri, kombinatorika, hingga geometri analitik.
Baca Juga: Pemimpin Sindikat Peretasan Data Pribadi yang Bobol Aset Jungkook BTS Divonis 20 Tahun Penjara
Sebagai penjelasan, soal di bawah ini bukan salinan soal asli. Angka, kondisi, maupun konstruksi soal telah dimodifikasi sebagai bahan latihan.
Soal Nomor 1
Diketahui polinom linear P(x) memenuhi:
P(5n + 2) = 40n + 7
untuk setiap bilangan bulat positif n.
Nilai P(4) adalah ...
A. 21
B. 23
C. 25
D. 27
E. 29
Pembahasan:
Karena P(x) linear, misalkan:
P(x) = ax + b.
Diketahui:
P(5n + 2) = 40n + 7.
Maka:
a(5n + 2) + b = 40n + 7.
Dengan membandingkan koefisien n:
5a = 40
a = 8.
Kemudian:
2a + b = 7
16 + b = 7
b = -9.
Jadi:
P(x) = 8x - 9.
Maka:
P(4) = 32 - 9 = 23.
Baca Juga: Semifinal Kejuaraan Dunia BWF 2026: Amri/Nita Tantang Ranking 1 Dunia
Soal Nomor 2
Banyaknya bilangan bulat m sehingga persamaan:
x² + mx + 24 - m = 0
tidak mempunyai akar real adalah ...
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
E. 21
Pembahasan:
Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real jika diskriminannya negatif.
Δ = m² - 4(24 - m) < 0
m² + 4m - 96 < 0
(m + 12)(m - 8) < 0.
Jadi:
-12 < m < 8.
Bilangan bulat yang memenuhi adalah:
-11, -10, ..., 6, 7.
Jumlahnya:
7 - (-11) + 1 = 19.
Jadi, jawabannya adalah C. 19.
Baca Juga: Lidik Kebakaran Hutan di Kalimantan, Kapolri : Beberapa Nama Sudah Kita Amankan
Soal Nomor 3
Bilangan bulat positif terkecil n sehingga n! habis dibagi:
2520 = 2³ × 3² × 5 × 7
adalah ...
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
Pembahasan:
Perhatikan:
7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7.
Faktorisasi tersebut mengandung faktor 2, 3, 5, dan 7 dalam jumlah yang cukup untuk membentuk 2520.
Sedangkan 6! belum memiliki faktor 7.
Maka nilai terkecil n adalah 7.
Jadi, jawabannya adalah B. 7.
Baca Juga: Hasil Kejuaraan Dunia 2026: Alwi Farhan dan Fajar/Fikri Gugur, Hanya Amri/Nita ke Semifinal
Soal Nomor 4
Koefisien x² dalam penjabaran:
(x + 3)^n
adalah 81k, dengan k bilangan asli. Nilai terkecil k adalah ...
A. 10
B. 12
C. 15
D. 18
E. 20
Pembahasan:
Koefisien x² adalah:
C(n,2) × 3^(n-2).
Untuk n = 6:
C(6,2) × 3⁴
= 15 × 81
= 81 × 15.
Jadi:
k = 15.
Jawabannya adalah C. 15.
Baca Juga: Cek Jenis Tes Fisik Sekolah Kedinasan 2026, Ada IPDN, STIN, Poltek SSN hingga Kemenhub
Soal Nomor 5
Banyak bilangan asli n, dengan:
1 ≤ n ≤ 110,
yang memenuhi:
n² + 4n + 3
habis dibagi 16 adalah ...
A. 24
B. 25
C. 26
D. 27
E. 28
Pembahasan:
Faktorkan:
n² + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3).
Kita membutuhkan:
(n + 1)(n + 3) ≡ 0 (mod 16).
Pemeriksaan kelas sisa modulo 16 menghasilkan:
n ≡ 3, 7, 11, 15 (mod 16).
Dalam rentang 1 sampai 110 terdapat masing-masing 7, 7, 7, dan 6 bilangan.
Jadi totalnya:
7 + 7 + 7 + 6 = 27.
Jawabannya adalah D. 27.
Baca Juga: Gus Yaqut Membela Diri, Kuota Haji Tambahan Tahun 2024 Kebijakan Arab Saudi
Soal Nomor 6
Diketahui f(x) merupakan polinom monik berderajat 5 dan:
f(1) = 4
f(2) = 7
f(3) = 12
f(4) = 19
f(5) = 28.
Nilai f(6) adalah ...
A. 120
B. 145
C. 150
D. 159
E. 165
Pembahasan:
Perhatikan bahwa:
4 = 1² + 3
7 = 2² + 3
12 = 3² + 3
19 = 4² + 3
28 = 5² + 3.
Misalkan:
g(x) = f(x) - (x² + 3).
Karena g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0, maka:
g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5).
Untuk x = 6:
g(6) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Sementara:
6² + 3 = 39.
Jadi:
f(6) = 120 + 39 = 159.
Jawabannya adalah D. 159.
Baca Juga: Empat Dokumen Wajib Sekolah Kedinasan 2026 yang Harus Disiapkan, Jangan Salah Upload
Soal Nomor 7
Sebuah bilangan terdiri atas 8 digit yang masing-masing hanya boleh berupa 1 atau 2.
Bilangan tersebut tidak boleh memuat substring 121 maupun 212.
Banyak bilangan yang memenuhi syarat adalah ...
A. 55
B. 60
C. 64
D. 68
E. 72
Pembahasan:
Misalkan aₙ adalah banyak string panjang n yang tidak memuat 121 atau 212.
Dengan mengelompokkan string berdasarkan dua digit terakhir dan menggunakan rekurensi yang sesuai, diperoleh:
a₁ = 2
a₂ = 4
a₃ = 6
a₄ = 10
a₅ = 16
a₆ = 26
a₇ = 42
a₈ = 68.
Jadi jawabannya adalah D. 68.
Baca Juga: 526.689 Formasi Guru Dibutuhkan, Tapi Ada 955.245 PPPK, Usia 35 Tahun Jadi Batasan?
Soal Nomor 8
Sebuah segitiga memiliki titik sudut:
A(0,0), B(8,0), C(0,6).
Banyak titik latis yang terletak di bagian dalam segitiga tersebut adalah ...
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
E. 19
Pembahasan:
Luas segitiga:
L = ½ × 8 × 6 = 24.
Dengan Teorema Pick:
L = I + B/2 - 1.
Banyak titik latis pada batas adalah:
B = 8 + 6 + FPB(8,6)
B = 8 + 6 + 2
B = 16.
Maka:
24 = I + 16/2 - 1
24 = I + 8 - 1
I = 17.
Jadi jawabannya adalah C. 17.
Baca Juga: Lulus Sekolah Kedinasan, STIN Wajib Ikatan Dinas 16 Tahun, Poltek SSN 10 Tahun, Cek yang Lainnya
Soal Nomor 9
Banyak bilangan bulat n ≥ 2 sedemikian sehingga terdapat n bilangan bulat berurutan yang jumlahnya 2025 adalah ...
A. 20
B. 24
C. 28
D. 30
E. 32
Pembahasan:
Misalkan n bilangan bulat berurutan dimulai dari a. Jumlahnya adalah:
a + (a + 1) + ... + (a + n - 1) = 2025.
Sehingga:
n(a + (n - 1)/2) = 2025.
Kasus 1: n ganjil.
Jika n ganjil, maka harus berlaku:
n | 2025.
Faktorisasi:
2025 = 3⁴ × 5².
Jumlah pembagi positifnya:
(4 + 1)(2 + 1) = 15.
Karena semua pembagi 2025 ganjil, terdapat 15 nilai n ganjil.
Kasus 2: n genap.
Jika n genap, persamaan dapat ditulis:
2025 = n/2 × (2a + n - 1).
Maka:
n/2 | 2025.
Terdapat 15 pembagi positif 2025, sehingga terdapat 15 nilai n genap.
Jadi jumlah seluruh nilai n:
15 + 15 = 30.
Dengan demikian, jawabannya adalah D. 30.
Baca Juga: Biaya Haji 2027 Naik Hampir Rp 20 Juta, Anggota Komisi VIII: Naudzubillah Min Dzalik Jika Terjadi
Soal Nomor 10
Diberikan bilangan real positif a, b, c yang memenuhi:
a + b + c = ab + bc + ca.
Manakah tripel berikut yang memenuhi persamaan tersebut?
A. (1,1,1)
B. (1,2,2)
C. (2,3,6)
D. (3/5, 3/5, 21/5)
E. (2,2,3)
Pembahasan:
Untuk pilihan D:
a + b + c
= 3/5 + 3/5 + 21/5
= 27/5.
Sedangkan:
ab + bc + ca
= 9/25 + 63/25 + 63/25
= 135/25
= 27/5.
Keduanya sama.
Jadi jawabannya adalah D.
Baca Juga: Tujuh Sekolah Kedinasan 2026 yang Punya Syarat Tinggi Badan, Cek Ketentuannya
Soal Nomor 11
Banyak pasangan terurut (a,b) dengan:
1 ≤ a,b ≤ 32
yang memenuhi:
a² + b² ≡ 0 (mod 32)
adalah ...
A. 16
B. 24
C. 28
D. 32
E. 36
Pembahasan:
Dengan mengelompokkan bilangan berdasarkan kelas sisa modulo 16 dan memeriksa kelas kuadrat yang memenuhi:
a² + b² ≡ 0 (mod 32),
diperoleh 32 pasangan terurut dalam rentang 1 sampai 32.
Jadi jawabannya adalah D. 32.
Baca Juga: Huawei Pura X View Jadi HP Candybar dengan Layar Lebar, Ini Spesifikasinya
Soal Nomor 12
Misalkan:
p(x) = x² + px + q
memiliki himpunan akar yang sama dengan himpunan koefisiennya, yaitu:
{1,p,q}.
Jumlah semua nilai q yang mungkin adalah ...
A. -3
B. -5/2
C. -2
D. -3/2
E. -1
Pembahasan:
Karena 1 merupakan akar, misalkan akar lainnya r.
Maka:
p(x) = (x - 1)(x - r)
= x² - (1 + r)x + r.
Sehingga:
p = -(1 + r)
dan:
q = r.
Jika p = 1, diperoleh:
r = -2.
Jika p = r, diperoleh:
-(1 + r) = r
sehingga:
r = -1/2.
Maka semua kemungkinan q adalah:
-2 dan -1/2.
Jumlahnya:
-2 - 1/2 = -5/2.
Jadi jawabannya adalah B. -5/2.
Baca Juga: Jangkau 8.400 Penerima Manfaat, Alfamart dan Sweety Lanjutkan Program Sahabat Posyandu
Soal Nomor 13
Sebuah dadu memiliki angka pada keenam sisinya:
2, 3, 5, 8, 13, 21.
Dadu dilempar dua kali. Banyak pasangan hasil lemparan yang jumlahnya juga merupakan salah satu angka pada sisi dadu adalah ...
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 14
Pembahasan:
Pasangan terurut yang memenuhi adalah:
(2,3), (3,2)
(3,5), (5,3)
(5,8), (8,5)
(8,13), (13,8).
Total terdapat:
8 pasangan.
Jadi jawabannya adalah B. 8.
Baca Juga: Tak Perlu Urus Visa di Kedutaan, Ini 25 Negara yang Beri Visa on Arrival untuk WNI
Soal Nomor 14
Diketahui barisan geometri tak hingga dengan suku pertama U₁ = 12 dan rasio:
r = 1/2.
Jumlah suku-suku dengan indeks genap adalah ...
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8
Pembahasan:
Suku genap pertama:
U₂ = 6.
Rasio antarsuku genap adalah:
r² = 1/4.
Jadi:
S = 6 / (1 - 1/4)
= 6 / (3/4)
= 8.
Jadi jawabannya adalah E. 8.
Baca Juga: Di Sidang Praperadilan, Ahli Pidana Tegaskan Sah Penyelidikan Kasus Febrie Adriansyah Eks Jampidsus
Soal Nomor 15
Banyak string sepanjang 10 yang hanya menggunakan huruf A dan B serta tidak mengandung tiga huruf sama berturut-turut, seperti AAA atau BBB, adalah ...
A. 144
B. 155
C. 166
D. 178
E. 188
Pembahasan:
Misalkan aₙ adalah banyak string panjang n tanpa AAA dan BBB.
Dengan menghitung berdasarkan panjang blok terakhir, diperoleh:
a₁ = 2
a₂ = 4
a₃ = 6
a₄ = 10
a₅ = 16
a₆ = 26
a₇ = 42
a₈ = 68
a₉ = 110
a₁₀ = 178.
Jadi jawabannya adalah D. 178.
Baca Juga: Kasus Dugaan Penipuan Ruben Onsu, Modal Investasi Korban Capai Rp3,5 Miliar
Soal Nomor 16
Bilangan asli terkecil n sehingga:
C(n,3)
habis dibagi 1000 adalah ...
A. 100
B. 125
C. 150
D. 200
E. 250
Jawaban: E. 250
Pembahasan:
Kita mempunyai:
C(n,3) = n(n - 1)(n - 2) / 6.
Karena:
1000 = 2³ × 5³,
hasil kali tiga bilangan berurutan tersebut harus memiliki faktor prima yang cukup setelah dibagi 6.
Nilai terkecil yang memenuhi kondisi tersebut adalah:
n = 250.
Verifikasi:
C(250,3) = 250 × 249 × 248 / 6,
yang habis dibagi 1000.
Jadi jawabannya adalah E. 250.Baca Juga: Ekonomi Jember Meroket 6,38 Persen, Bupati Gus Fawait Gandeng OJK dan BI Genjot Ekspansi Kredit
Soal Nomor 17
Diketahui:
KPK(a,b) = 60
untuk bilangan asli a,b.
Nilai minimum dari a + b adalah ...
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
E. 19
Pembahasan:
Faktorisasi:
60 = 2² × 3 × 5.
Pasangan:
a = 5 dan b = 12
memenuhi:
KPK(5,12) = 60.
Jumlahnya:
5 + 12 = 17.
Tidak ada pasangan pembagi 60 lainnya yang menghasilkan jumlah lebih kecil sekaligus memiliki KPK 60.
Jadi jawabannya adalah C. 17.
Baca Juga: Money Smart, Life Free: Strategi Membangun Financial Freedom di Usia Muda
Soal Nomor 18
Jika x,y,z > 0 dan:
xy + yz + zx = 1,
nilai minimum dari:
x + y + z
adalah ...
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
E. 3
Pembahasan:
Gunakan:
(x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx).
Karena:
xy + yz + zx = 1,
maka:
(x + y + z)² ≥ 3.
Sehingga:
x + y + z ≥ √3.
Kesamaan terjadi ketika:
x = y = z = 1/√3.
Jadi nilai minimum adalah √3.
Jawabannya adalah C. √3.
Baca Juga: Besaran Uang Saku Magang Nasional 2026, Ada yang Dapat Rp5,9 Juta
Soal Nomor 19
Banyak tripel bilangan bulat positif terurut (a,b,c) yang memenuhi:
a + b + c = abc
adalah ...
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 8
Pembahasan:
Ambil a = 1.
Maka:
1 + b + c = bc.
Sehingga:
bc - b - c = 1.
Tambahkan 1 pada kedua sisi:
bc - b - c + 1 = 2.
Maka:
(b - 1)(c - 1) = 2.
Kemungkinan:
(b,c) = (2,3)
atau:
(b,c) = (3,2).
Dengan memperhatikan seluruh permutasi dari 1, 2, 3, terdapat:
3! = 6
tripel terurut.
Jadi jawabannya adalah D. 6.
Baca Juga: Beasiswa Garuda 2026 Kirim 515 Siswa ke Kampus Top Dunia, Australia Jadi Tujuan Terbanyak
Soal Nomor 20
Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 13 cm, 14 cm, dan 15 cm. Median yang ditarik ke sisi sepanjang 14 cm memiliki panjang kuadrat ...
A. 136
B. 140
C. 144
D. 148
E. 152
Pembahasan:
Rumus median terhadap sisi b adalah:
m_b = 1/2 √(2a² + 2c² - b²).
Dengan:
a = 13
b = 14
c = 15.
Diperoleh:
m_b² = 1/4 [2(13)² + 2(15)² - 14²]
= 1/4 [338 + 450 - 196]
= 592/4
= 148.
Jadi jawabannya adalah D. 148.
Baca Juga: ATM MBG Usulan Romy Soekarno Segera Dibahas Komisi IX DPR, Bantuan Rp15 Ribu per Langsung ke Siswa
Persiapan Menuju Final OSN 2026
Latihan Matematika untuk menghadapi final OSN tidak cukup hanya dengan menghafalkan rumus.
Peserta perlu terbiasa menghadapi soal yang menuntut penalaran, kemampuan menemukan pola, strategi penyelesaian, dan pemahaman konsep.
Karena itu, 20 soal di atas dibuat dengan tingkat kesulitan yang beragam.
Peserta dapat menggunakan bagian soal terlebih dahulu sebagai simulasi, kemudian mencocokkan jawaban dan mempelajari pembahasan setelah selesai mengerjakan.
Menjelang Final OSN 14-20 September 2026, latihan secara konsisten dapat membantu peserta semakin terbiasa menghadapi karakter soal Matematika kompetisi yang membutuhkan ketelitian sekaligus kemampuan berpikir kreatif. ***
